Ta question de départ est loin d'être dénuée d'intérêt, rassures-toi, et on serait heureux de pouvoir y répondre s'il n'existait pas quelques obstacles insurmontables.
1°) d'un point de vue interne, on dispose de trop peu d'éléments sur le calendrier des différentes étapes des aventures du Hobbit pour savoir quand le Nécromancien se trouve ou non à Dol Guldur(contrairement aux Appendices et au texte même du SdA qui fournissent énormément de renseignements sur la chronologie des évenements).
On sait que Gandalf quitte Bilbo et les Nains à l'orée de Mirkwood parce qu'il est attendu dans le Sud et qu'il est pressé de s'y rendre.
On sait qu'ensuite Bilbo et ses compagnons mettent plusieurs jours pour traverser la forêt avant de se retrouver prisonniers quelques semaines - environ 1 mois - chez Thranduil (la seule date dont on dispose vraiment dans cette phase du récit est celle du 22 septembre puisque Bilbo se souvient que c'est son anniversaire le lendemain de l'évasion en tonneaux - mais sans autres dates ni indications du récit, cela ne sert pas à grand chose).
A la fin du Livre, Gandalf explique qu'il a chassé le Nécromancien avec le Conseil blanc mais il ne dit pas exacteement quand (et les appendices du SdA ne donnent que l'année de cette expulsion sans plus de précision).
Bref, impossible de répondre d'un point de vue interne à la question de savoir si Sauron était suffisament proche de Bilbo pour percevoir l'utilisation de l'Anneau.
2°) d'un point de vue externe maintenant, et c'est là l'essentiel, lorsque JRRT a écrit le Hobbit, il ne pensait pas encore aux développements futurs de l'histoire de l'Anneau et sûrement pas aux capacités de détection de celui-ci par le Nécromancien (l'histoire des Anneaux de pouvoir n'a été inventée qu'après)... C'est d'ailleurs pour cela que Tolkien a dû réviser autant que possible mais sans le chambouler son Hobbit de 1937 pour le republier en 1966.
Par exemple (je cite de mémoire le "Annotated Hobbit" que j'ai acquis récemment mais que je n'ai pas sous les yeux), dans la première version, lorsque Gandalf raconte que le Nécromancien a été chassé de Dol Guldur, il dit que le Nord sera en paix pour au moins un Âge (ou quelques chose de ce genre), mais dans la version révisée publiée en 1966, il dit que le Nord sera en paix pour plusieurs années.
J'espère que cela répond à ton interrogation.
Une petite explication pourrait quand même être avancée, si on y tenait, c'est que le Palais de Thranduil est dans des cavernes et que Sauron n'a pas la capaicté de détecter l'Anneau ou tout autre pouvoir qui se trouve sous la roche (cf. la longue présence de Gollum sous terre)
Silmo